讲解导数与函数单调性、极值的核心关系，配套高考题型与分步求解技巧。
导数求函数单调性与极值的核心，是把“函数值怎么变”转化为“导数符号怎么变”。
定义为 f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}，这个极限描述了函数在点处的瞬时变化率。
设点为驻点或可疑极值点，考察其左右两侧导数符号：
导数定义公式为 f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}。
目标公式是 \left(x^n\right)'=n x^{n-1}\ (n\in\mathbf{N}^*)。
推导：
当 \Delta x\to 0 时，得到 \left(x^n\right)'=n x^{n-1}。
线性运算求导公式为 \left(a f(x)+b g(x)\right)'=a f'(x)+b g'(x)。
推导基于极限的可加性与常数可提出性。
先解可疑点 f'(x)=0，再做分区间符号讨论：f'(x)>0\Rightarrow f(x) 递增，f'(x)<0\Rightarrow f(x) 递减。
若 f'(x_0)=0 且 f'(x) 在 x_0 左右变号，则 x_0 为极值点。
已知函数 f(x)=x^3-3x^2+2。求：
已知与所求：
分步求解：
第 1 步：求导并找临界点。
f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令 f'(x)=0，得 x=0 或 x=2。
第 2 步：做导数符号分析。
当 x<0 时，f'(x)>0；当 0<x<2 时，f'(x)<0；当 x>2 时，f'(x)>0。
所以函数先增后减再增：
第 3 步：求极值。
f(0)=2,\ f(2)=-2。
由符号变化可知：
第 4 步：讨论方程实根个数。
三次函数图像与水平直线 y=m 相交三次，需要水平线严格位于极大值与极小值之间，即 -2<m<2。
最终答案：
关键技巧：
某饮品店把单杯售价设为变量，日销量与售价的关系近似为 q=120-2p，总成本模型为 C=20q+200，利润为 P=pq-C，售价范围取 20\le p\le 60。求：
已知与所求：
分步求解：
第 1 步：化简利润函数。
P(p)=p(120-2p)-\left[20(120-2p)+200\right]=-2p^2+160p-2600。
第 2 步：求导并判单调。
P'(p)=-4p+160，令 P'(p)=0，得 p=40。当 20\le p<40 时，P'(p)>0；当 40<p\le 60 时，P'(p)<0。
因此：
第 3 步：求最大利润。
P(40)=-2\cdot 40^2+160\cdot 40-2600=600。
最终答案：
关键技巧：
某边缘部署模型把压缩强度记为变量，综合性能评分模型为 S(x)=-(x-2)^2(x-5)，且 2\le x\le 6。求：
已知与所求：
分步求解：
第 1 步：展开并求导。
S(x)=-x^3+9x^2-24x+20，S'(x)=-3x^2+18x-24=-3(x-2)(x-4)。
第 2 步：判导数符号。
在给定区间内，当 2<x<4 时，S'(x)>0；当 4<x<6 时，S'(x)<0。
所以：
第 3 步：求极值与最优点。
S(2)=0,\ S(4)=4,\ S(6)=-16，因此区间内最大值为四，对应 x=4。
第 4 步：求可行区间。
上线条件为 S(x)\ge 0。代入因式分解形式：-(x-2)^2(x-5)\ge 0\Rightarrow (x-2)^2(x-5)\le 0。因为平方项恒非负，符号由 x-5 主导，可得 x\le 5。结合定义域，得到 2\le x\le 5。
最终答案：
关键技巧：
